1：为什么jacobi和gauss-seidel迭代法应用在有限差分格式时反映的是不连续的中值定理

　　Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性比较分析白红梅 【摘要】：对于线性方程组Ax=b的求解,主要有直接法求解和迭代法求解,物理以及力学等学科和工程技术中,许多问题的最终解决都归结为一个或一些大型稀疏矩阵的线性方程组。随着电子计算机的出现和迅速发展,需要求解的问题的规模越来越大,大型线性方程组的求解是大规模科学与工程计算的核心,而对这种方程组一般采用迭代法求解。我们通常用的迭代法有Jacobi,Gauss-Seidel等迭代法,其收敛性和收敛速度成为一个很重要的问题,本文对这两种迭代法的收敛性进行了比较分析。
【作者单位】： 呼伦贝尔学院数学科学学院;
【关键词】： 迭代法 收敛性 Jacobi Gauss-Seidel
【分类号】：O241.6
【正文快照】：
一、引言在许多实际数值分析问题中,我们需要解决很多大型稀疏方程组,尤其是用差分法或有限元方法解偏微分方程边值问题,例如电学中的网络问题、程序设计等,这时采用迭代法求解是最合适的,而且计算出结果是最有可能的[1]。因为迭代法只需存贮非零元素(有些情况非零元素也不用

　　2：有限差分法的原理

　　以连续性原理与达西定律为基础，对任何复杂的地下水流系统都可以建立其相应的数学模型，即地下水运动的微分方程和决定其解的初、边值条件。但数学模型如何求解，常取决于地下水流系统水文地质条件概化的程度。

　　2.6.1.1离散化

　　有限差分法解地下水流系统的实质，是把要研究的渗流区域按一定的方式剖分(离散)成许多但有限的小均衡域。在一定的精度要求下，每个小均衡域内各种参数视为常数，小均衡域内的水头以其中心的水头为其代表，相邻小均衡域间的水头变化近似看做是线性的。把所要研究的渗流区域按一定方式剖分成许多但有限的小均衡域称为对渗流区域的离散化。若以二维渗流区域为例，最简单的剖分是用两组相互正交的平行线把渗流区域剖分成许多矩形小均衡域。剖分约定:第一类边界从小区域的中心经过;第二类边界与小均衡域的边界重合。小均衡域的中心叫节点(或结点)，可用适当的方法标定小均衡域及相应节点的编号。习惯作法是，将横向的网格叫行，另一个方向的叫列，行与列均顺序编号。于是位于第j行与第i列相交处的小均衡域及节点统一记为(i，j)。沿行与列的网格格距用Δx、Δy表示，叫空间步长。对于二维非稳定流来讲，可取第三个坐标为时间t，若以Δt表示时间间隔，将二维网格按Δt向上重复而形成一个三维网格系，此时的小均衡域为一立方体，位于第m层的小均衡域及节点统一记为(i，j，m)。有限差分法所要计算的是(i，j)或(i，j，m)得近似值。

　　2.6.1.2地下水流的有限差分方程

　　以承压水二维流为例建立有限差分方程。从离散化的渗流区域中取出一个小均衡域，如图2.1。

　　图2.1小均衡域图

　　模型的假设条件:①地下水流为承压水;②小均衡域除侧向径流外，无其他流量交换;③网格沿行及列分别为等距的，但行距与列距可以不等，且分别记为ΔX与ΔY;④离散点上的近似水头值以h表示。

　　根据达西定律可算得小均衡域(i，j)在某瞬时的四个侧向径流量分别为:

　　1)沿右侧流入:

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　　2)沿左侧流入:

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　　3)沿下部流入:

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　　4)沿上部流入:

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　　单位时间流入小均衡域的总侧向径流量t为:

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　　假定Δt时间内，小均衡域的水头抬高Δh，小均衡域增加的水量s为:

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　　式中:Si，j—小均衡域(i，j)的储水系数。

　　据质量守恒有:t=s

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　　此式为非均质各向异性承压含水层二维非稳定流有限差分方程。

　　由此可以看出，有限差分方程实际上是基本偏微分方程的近似表达式，其近似的程度可通过泰勒级数来加以研究。由于地下水头曲面一般来说是连续而光滑的，于是在剖分网格中根据泰勒公式可以写出:

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　　或

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　　由式(2.2)得:

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　　其中:

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　　由此可知，用差商 代替导数 所产生的误差o(Δx)。o(Δx)表示误差中占主导地位的是含ΔX的项，叫一阶误差。用差商代替导数时o(Δx)是被舍去的，因此o(Δx)又称截断误差。在式(2.4)中处于x方向的i+1号在i号的前面，因此将 叫前向差商。同样可定义后向差商为:

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　　其中:

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　　由式(2.2)与式(2.3)还可以得:

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　　其中:

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　　称为中心差商。由上式可见用中心差商代替导数要比后向差商或前向差商代替导数的精度提高了一阶。

　　同样，二阶偏导数也可以用差商来近似代替:

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　　可以类似地写出用差商近似水头对时间的导数，比如:

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　　在渗流区域内，每一个节点都可以建立一个类似于式(2.1)的方程，从而组成有限差分方程组。如果ΔX、ΔY、Δt取得足够小，可望解此方程组而得到足够精确地近似值。

　　2.6.1.33种主要差分格式

　　在式(2.1)中，等号左端的Δh用hi，j，m+1－hi，j，m代替时，对于等号右端项，可取m+1时刻，也可取m时刻，也可取m和m+1时刻的平均值。

　　当右端项取m+1时刻的水位时，为隐式差分格式:

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　　当右端项取m时刻的水位时，为显式差分格式:

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　　当右端项取m和m+1时刻的平均值时，为中心差分格式或对称差分格式:

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　　3：微分方程的有限差分格式有显示微分和隐式微分两种形式，这两种形式有什么优劣

　　偏微分方程的差分逼近方面

　　4：有限差分法基础

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　　5：期权分哪两个基本类型

　　看跌/看涨期权

　　6：什么是指状期权

　　指状期权的概述由于指状期权简单的损益结构和独特的特征，它对于场外市场的众多参与者尤其具有吸引力。由于其损益状况仅为有或没有两种，指状期权又被称为两值期权(Binary Option)、二元期权。